Il "teorema della palla pelosa" in matematica ha implicazioni sorprendenti

Ecco cosa può insegnarci il problema più complicato della matematica sul vento, sulle antenne e sulla fusione nucleare

Potresti rimanere sorpreso di apprendere che non puoi pettinare i peli di una noce di cocco senza creare un ciuffo ribelle. Forse ancora più sorprendente, questa sciocca affermazione con un nome ancora più stupido, “il teorema della palla pelosa”, è un’orgogliosa scoperta di un ramo della matematica chiamato topologia. Umorismo giovanile a parte, il teorema ha conseguenze di vasta portata nella meteorologia, nelle trasmissioni radio e nell’energia nucleare.

Qui, "ciuffo ribelle" può significare una zona calva o un ciuffo di capelli che spunta dritto, come quello che il personaggio di Alfalfa sfoggia in The Little Rascals. Naturalmente i matematici non fanno riferimento alle noci di cocco o ai ciccioli ribelli nel definire il problema. In un linguaggio più tecnico, pensa alla noce di cocco come a una sfera e ai peli come a vettori. Un vettore, spesso rappresentato come una freccia, è semplicemente qualcosa con una grandezza (o lunghezza) e una direzione. Pettinare i capelli contro i lati della noce di cocco formerebbe l'equivalente dei vettori tangenti, quelli che toccano la sfera esattamente in un punto della loro lunghezza. Inoltre, vogliamo un pettine liscio, quindi non permettiamo che i capelli si dividano da nessuna parte. In altre parole, la disposizione dei vettori sulla sfera deve essere continua, il che significa che i peli vicini dovrebbero cambiare direzione solo gradualmente e non bruscamente. Se uniamo insieme questi criteri, il teorema dice che in qualunque modo si provi ad assegnare dei vettori a ciascun punto su una sfera, qualcosa di brutto è destinato ad accadere: ci sarà una discontinuità (una parte), un vettore con lunghezza zero (un spot) o un vettore che non riesce ad essere tangente alla sfera (erba medica). In pieno gergo: un campo vettoriale tangente continuo e non nullo su una sfera non può esistere.

Questa affermazione si estende a tutti i tipi di figure pelose. Nel campo della topologia, i matematici studiano le forme, come farebbero in geometria, ma immaginano che queste forme siano costituite da una gomma sempre elastica. Sebbene la gomma sia capace di modellarsi in altre forme, non è in grado di lacerarsi, fondersi o passare attraverso se stessa. Se una forma può essere deformata in un'altra senza fare queste cose, allora quelle forme sono equivalenti, per quanto riguarda i topologi. Ciò significa che il teorema della palla pelosa si applica automaticamente ai cubi pelosi, agli animali imbalsamati pelosi e alle mazze da baseball pelose, che sono tutti topologicamente equivalenti alle sfere. (Potresti modellarli tutti da una pallina di Play-Doh senza violare le regole della gomma.)

Qualcosa che non equivale a una sfera è il tuo cuoio capelluto. Il cuoio capelluto da solo può essere appiattito su una superficie e pettinato in una direzione come le fibre di un tappeto a pelo lungo. Quindi, purtroppo, la matematica non può giustificare la testata del tuo letto. Anche le ciambelle sono distinte dalle sfere, quindi una ciambella pelosa - un'immagine poco appetitosa, senza dubbio - può essere pettinata senza problemi.

Ecco una curiosa conseguenza del teorema della palla pelosa: ci sarà sempre almeno un punto sulla Terra dove il vento non soffia sulla superficie. Il vento scorre in una circolazione continua attorno al pianeta e la sua direzione e intensità in ogni punto della superficie possono essere modellate da vettori tangenti al globo. (Non è necessario che le grandezze dei vettori rappresentino lunghezze fisiche, come quelle dei capelli.) Ciò soddisfa le premesse del teorema, il che implica che le raffiche devono morire da qualche parte (creando un ciuffo ribelle). Un ciuffo ribelle potrebbe verificarsi nell'occhio di un ciclone o di un vortice, oppure potrebbe verificarsi perché il vento soffia direttamente verso il cielo. Questo accurato strumento online descrive le correnti di vento aggiornate sulla Terra e puoi individuare chiaramente i vorticosi ciccioli ribelle.

Per osservare un'altra strana ramificazione del teorema, fai girare una palla da basket nella direzione che preferisci. Ci sarà sempre un punto sulla superficie che ha velocità zero. Ancora una volta, associamo un vettore tangente a ciascun punto in base alla direzione e alla velocità in quel punto della palla. La rotazione è un movimento continuo, quindi si applica il teorema della palla pelosa e assicura un punto senza alcuna velocità. Dopo un’ulteriore riflessione, questo potrebbe sembrare ovvio. Una palla che gira ruota attorno a un asse invisibile e i punti alle due estremità di quell'asse non si muovono. E se praticassimo un piccolo foro nella palla esattamente lungo quell'asse per rimuovere i punti stazionari? Sembra allora che ogni punto si muova. Questo viola il teorema della palla pelosa? No, perché praticare un foro trasformava la pallina in una ciambella! Anche le ciambelle con buchi insolitamente lunghi e stretti infrangono le regole del teorema: contraddizione evitata.